Чётность и остатки

Текстовая версия урока

Что остаётся неизменным, когда меняется всё остальное, — первый инвариант, к которому стоит тянуться.

1. Вопрос 1

   Сложите два любых нечётных числа. Каким всегда будет результат?

   Варианты

   • ·Всегда чётным
   • ·Всегда нечётным
   • ·Зависит от чисел
   • ·Всегда простым
   Показать ответ и объяснение

   Ответ: Всегда чётным

   Объяснение: Любое нечётное число равно 2k + 1. Сложив два таких, получаем 2k + 1 + 2m + 1 = 2(k + m + 1) — кратное двум. Две лишние единицы объединяются в пару, и результат всегда чётный.

   Подсказка: Запишите каждое нечётное число как чётное плюс один.

2. Вопрос 2

   Каков остаток от деления 1234 на 9?

   Показать ответ и объяснение

   Ответ: 1

   Объяснение: Число и сумма его цифр дают одинаковый остаток по модулю 9, потому что 10, 100 и 1000 дают остаток 1. Здесь 1 + 2 + 3 + 4 = 10, а 1 + 0 = 1, значит остаток равен 1.

   Подсказка: Сложите цифры, а если сумма всё ещё велика — сложите ещё раз.

3. Вопрос 3

   У шахматной доски 8×8 срезали два противоположных по диагонали угла, осталось 62 клетки. У вас 31 домино, каждое накрывает ровно две соседние клетки.

   Можно ли точно накрыть оставшиеся 62 клетки?

   Варианты

   • ·Да, многими способами
   • ·Да, но единственным способом
   • ·Нет, это невозможно
   • ·Только если домино могут накладываться
   Показать ответ и объяснение

   Ответ: Нет, это невозможно

   Объяснение: Каждое домино накрывает одну светлую и одну тёмную клетку, значит 31 домино требует по 31 клетке каждого цвета. Противоположные по диагонали углы одного цвета, поэтому после их удаления остаётся 30 клеток одного цвета и 32 другого. Числа никогда не совпадут, и никакая расстановка не поможет.

   Подсказка: Раскрасьте доску и посчитайте, что обязано накрывать каждое домино.

4. Вопрос 4

   Последние цифры степеней тройки идут 3, 9, 7, 1 и затем повторяются.

   Какова последняя цифра числа 3 в степени 100?

   Показать ответ и объяснение

   Ответ: 1

   Объяснение: Закономерность повторяется каждые четыре степени, поэтому важен только остаток показателя по модулю 4. Так как 100 делится на 4 нацело, показатель попадает на последнюю позицию цикла — там стоит цифра 1.

   Подсказка: Длина цикла — четыре; поделите показатель на четыре.

5. Вопрос 5

   Возьмите любое трёхзначное число, у которого первая и последняя цифры различны, переверните его и вычтите меньшее из большего. Например, 725 − 527 = 198 и 431 − 134 = 297.

   На какое число всегда делится результат?

   Показать ответ и объяснение

   Ответ: 99

   Объяснение: Число равно 100a + 10b + c, а перевёрнутое — 100c + 10b + a. При вычитании средняя цифра полностью сокращается и остаётся 99(a − c). Какими бы ни были цифры, результат кратен 99 — поэтому и появляются 198 и 297.

   Подсказка: Запишите число как 100a + 10b + c и выполните вычитание в буквах.

6. Вопрос 6

   Поместите каждое число в тот ящик, на который оно делится нацело.

   Показать ответ и объяснение

   Ответ: Делится на 2 — 14; Делится на 3 — 9; Делится на 5 — 25

   Объяснение: 14 = 2 × 7, 9 = 3 × 3 и 25 = 5 × 5. У каждого числа ровно один из трёх делителей, поэтому заполнить ящики можно единственным способом — ни одно число не подходит сразу к двум.

   Подсказка: Только одно из трёх чисел чётное.